6. 기하 변환

2차원 변환

x, y값으로 이루어진 2차원 좌표계에서의 변환을 다룬다.

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  • 평행이동(Translation)
  • 크기변환(Scaling)
  • 회전(Rotation)
  • 비틀림(Shear)

평행이동

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위쪽의 그림은 일반적으로 표현한 평행이동이다. 기존 좌표(x, y)에 각각 변화량을 더하여 이동 좌표(x’, y’)를 얻는 것이다. 기호는 T(Δx, Δy) 이다.

크기변환

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기존 점에 스케일링 펙터(Sx, Sy)를 곱하여 이동 좌표를 얻는다. 기호는 S(Sx, Sy)이다.

회전

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원점을 기준으로 각도 $\theta$만큼 회전하여 이동 좌표를 얻으며, 기호는 R($\theta$)이다. 각도라는 특성상 삼각함수를 사용한다. 아래와 같은 식을 통해 구한다.

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*날림으로 적혔지만 sin, cos 이다…

비틀림

비틀림의 특징은 한쪽 축의 값은 유지하면서 다른 쪽 축의 값은 변한다는 것이다. x축, y축의 경우를 나눠서 생각해보자.

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x축의 경우, y값은 동일하지만 x값에 변화가 생겼다. 위에서부터 아래까지 균일하게 밀린 것이 아니므로, 위와 같이 표시한다.

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y축의 경우도 x축의 경우와 비슷하다.

행렬로 변환 나타내기

위에서는 일반적인 식으로 각 변환을 표시하였지만, 컴퓨터에서 이들을 연산하기 위해서는 행렬로 나타낼 필요가 있다.

  • 평행이동

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  • 크기변환

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  • 회전

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이 때 문제가 되는 부분은 평행이동이다. 크기변환, 회전은 모두 행렬곱의 형태인데 반하여 평행이동은 행렬 덧셈의 형태이기 때문이다. 컴퓨터가 이미지를 연속적으로 계산하기 위해서는 행렬의 곱셈 형태가 가장 적합하다.

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위의 식을 보면, 원본 행렬 P에 변환 행렬 M을 순서대로 곱하여 결과 행렬 P’를 얻는 모습이 보인다. 저 사이에 행렬 덧셈이 끼면 어떻게 될까? 연산이 매우 복잡해질 것이다. 그렇기에 우리는 동차 좌표계를 사용하여 모든 연산을 정방 행렬로 표현한다. 동차좌표계에 관한 내용은 앞선 글을 참고하자.

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이렇게 나타내면 식의 의미는 변하지 않은 채로 행렬 곱 연산이 가능하다.

3차원 변환

2차원 변환과 크게 다를 것은 없다. 다만 회전의 선택지가 늘어났다.

  • 평행이동

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  • 크기변환

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  • 회전 - x축

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  • 회전 - y축

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  • 회전 - z축

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  • 회전 - 임의의 축

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    임의의 벡터 v(a, b, c)를 기준으로 회전하는 동작이다. 순서는 다음과 같다.

    1. Z축을 기준으로 $\alpha$각도 만큼 회전한다.

      → 벡터 v를 z축 기준으로 회젼하여 zy평면 위로 올린다. v(0, ?, ?)

    2. X축을 기준으로 $\beta$각도 만큼 회전한다.

      → 벡터 v를 x축 기준으로 회전하여 z+축과 같아지도록 회전한다. v(0, 0, ?)

    3. Z축을 기준으로 처음에 원했던 $\theta$각도 만큼 회전한다.
    4. 2번, 1번 순서대로 $-\alpha, -\beta$각도 만큼 회전하여 복구한다.

참고자료